R ∼ R a y l e i g h ( σ 2 ) {\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma ^{2})} là một phân phối Rayleigh nếu R = X 2 + Y 2 {\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}} với X ∼ N ( 0 , σ 2 ) {\displaystyle X\sim N(0,\sigma ^{2})} và Y ∼ N ( 0 , σ 2 ) {\displaystyle Y\sim N(0,\sigma ^{2})} là 2 phân phối chuẩn độc lập.
Y ∼ χ ν 2 {\displaystyle Y\sim \chi _{\nu }^{2}} là một phân phối khi-bình phương với ν {\displaystyle \nu } bậc tự do nếu Y = ∑ k = 1 ν X k 2 {\displaystyle Y=\sum _{k=1}^{\nu }X_{k}^{2}} với X k ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle X_{k}\sim N(0,1)} cho k = 0 , 1 , ⋯ , ν {\displaystyle k=0,1,\cdots ,\nu } và là độc lập
Y ∼ C a u c h y ( μ = 0 , θ = 1 ) {\displaystyle Y\sim \mathrm {Cauchy} (\mu =0,\theta =1)} là một phân phối Cauchy nếu Y = X 1 / X 2 {\displaystyle Y=X_{1}/X_{2}} và X 1 ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle X_{1}\sim N(0,1)} và X 2 ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle X_{2}\sim N(0,1)} là 2 phân phối chuẩn độc lập.
Y ∼ Log-N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle Y\sim {\mbox{Log-N}}(\mu ,\sigma ^{2})} là một phân phối log-normal nếu Y = exp ( X ) {\displaystyle Y=\exp(X)} and X ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})} .
Liên quan đến phân phối Lévy skew alpha-stable: nếu X ∼ Levy-S α S ( 2 , β , σ / 2 , μ ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Levy-S}}\alpha {\textrm {S}}(2,\beta ,\sigma /{\sqrt {2}},\mu )} thì X ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})} .
Phân phối chuẩn rút gọn. Nếu, X ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})} thì, việc rút gọn dưới tại A {\displaystyle A} và trên tại B {\displaystyle B} sẽ dẫn đến một biến ngẫu nhiên với mean E ( X ) = μ + σ ( ϕ 1 − ϕ 2 ) T {\displaystyle E(X)=\mu +{\frac {\sigma (\phi _{1}-\phi _{2})}{T}}} , trong đó T = Φ ( B − μ σ ) − Φ ( A − μ σ ) {\displaystyle T=\Phi \left({\frac {B-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right)} và ϕ 1 = f ( A − μ σ ) {\displaystyle \phi _{1}=f\left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right)} và ϕ 2 = f ( B − μ σ ) {\displaystyle \phi _{2}=f\left({\frac {B-\mu }{\sigma }}\right)} , trong đó f ( ⋅ ) {\displaystyle f(\cdot )} là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên chuẩn tắc.
